Lamprou swoją karierę rozpoczynał w Atromitos Elpida, gdzie jednak szybko wypatrzyli go skauci Ajaksu. W wieku 13 lat, gracz trafił o akademii klubu, ale oszedł już po roku. W wieku 16 lat podpisał swój pierwszy profesjonalny kontrakt z…Feyenoordem Rotterdam. W sezonie 2008/09, Lamprou trenował z pierwszą drużyną i otrzymał numer 40. W związku z dobrą postawą bramkarzy, Grek nie otrzymał szybko swojej szansy w pierwszej drużynie. Golkiper kilka razy był rezerwowym, ale było to wszystko czym musiał się zadowolić. W 2010 roku trafił na wypożyczenie do Excelsioru, ale i tam nie grał regularnie, szybko wracając do Feyenoordu. Swój debiut zaliczył tam w końcu w meczu pucharowym z AGOVV. Później grał również z Go Ahead Eagles, a Feyenoord przegrał 1:2. 15 września 2012 roku, Lamprou zadebiutował w lidze w meczu z PEC Zwolle. Golkiper grał nieźle, ale menadżer nie ufał mu do końca, a więc w 2014 roku doszło do transferu do Willem II. Dla klubu z Tilburga, Grek rozegrał 68 spotkań i stał się bardzo ważnym elementem drużyny. W lecie 2017 roku było jednak jasne, że Lamprou nie przedłuży swojej umowy i poszuka nowego klubu.

1 sierpnia 2017 roku ogłoszono, iż Kostas podpisał roczną umowę z Ajaksem, do którego wrócił po wielu latach. Transfer był jednak dużą niespodzianką, bo Lamprou nie miał w Ajaksie szans na grę. Numerem jeden był Andre Onana, a w tym samym okienku jako numer dwa został ściągnięty Benjamin van Leer. Lamprou bronił w sparingach, Jong Ajax, a debiut w pierwszej drużynie zaliczył w meczu pucharowym z ASV Dijk.